ACOSTA LOPEZ ALBERTO
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Contenido. Matemáticas, control y comunicación. Un enfoque a las telecomunicaciones y sus aplicaciones
II. Analisis complejo
1 Números Complejos
1.1 Definición
1.2 Formas de representar un número complejo
1.3 Operaciones con números complejos
1.3.1 Suma de complejos
1.3.2 Propiedades de la suma
1.3.3 Multiplicación de números complejos
1.3.4 Propiedades de la multiplicación de números complejos
1.3.5 División de números complejos
1.4 Magnitud y conjugado de un complejo
1.4.1 Propiedades del conjugado de un número complejo
1.5 Forma polar de un número complejo
1.6 Ejercicios
2 Funciones Complejas
2.1 Definición
2.2 Límites
2.3 Continuidad
2.4 Derivada de una función compleja
2.5 Condiciones de Cauchy-Riemann
2.6 Exponencial compleja
2.7 Funciones trigonométricas complejas
2.8 Logaritmo complejo
2.9 Potencias
2.10 Raíces complejas
2.11 Ejercicios
3 Integral de una función compleja
3.1 Definición
3.1.1 Curvas en el plano
3.2 Integrales definidas sobre una curva suave
3.2.1 Teorema
3.2.2 Definición
3.3 Propiedades de las integrales complejas
3.3.1 Teorema
3.3.2 Ejercicios
3.4 Teorema fundamental del cálculo
3.4.1 Demostración
3.4.2 Teorema
3.4.3 Demostración
3.5 Integrales de series de funciones
3.5.1 Teorema de integración término a término
3.6 Teorema de la integral de Cauchy
3.6.1 Teorema de la curva de Jordan
3.6.2 Teorema de la integral Cauchy
3.7 Independencia de la trayectoria
3.7.1 Teorema
3.7.2 Fórmula integral de Cauchy
3.8 Teorema del residuo
3.9 Ejercicios
II. Series
4 Series de potencias, Taylor y Laurent
4.1 Series de potencias
4.2 Serie de Taylor
4.2.1 Ejercicios
4.3 Serie de Laurent
5 Series de Fourier
5.1 Funciones periódicas
5.2 Funciones pares e impares
5.3 Serie de Fourier de una función
5.4 Lema
5.5 Convergencia de las series de Fourier
5.6 Sumas arciales de la serie de Fourier
5.7 El Fenómeno de Gibbs
5.8 Serie de Fourier en cosenos de una función
5.9 Serie de Fourier en senos de una función
5.10 Desigualdad de Bessel
5.10.1 Ejemplo
5.11 Teorema de Parseval
5.11.1 Ejemplo
5.12 Serie trigonométrica
5.13 Serie de Fourier compleja
5.13.1 Ejercicios
III. Transformada de Fourier
6 Transformada de Fourier de una función
6.1 Definición de transformada de Fourier
6.2 Propiedades de la transformada de Fourier continua
6.2.1 Linealidad
6.2.2 Simetría
6.2.3 Escalonamiento
6.2.4 Transformada de la conjugada
6.2.5 Translación en el tiempo
6.2.6 Translación en frecuencia
6.2.7 Derivación en el tiempo
6.2.8 Derivación en la frecuencia
6.2.9 Modulación
6.2.10 Ejemplos usando propiedades de la transformada de Fourier
6.2.11 Convolución
6.2.12 Propiedades de la convolución
6.2.13 Simétrica
6.2.14 Linealidad
6.2.15 Asociativa
6.2.16 Teorema de convolución en el dominio del tiempo
6.2.17 Demostración
6.2.18 Teorema de convolución en el dominio de la frecuencia
6.2.19 Ejemplo
6.3 Función Delta de Dirac
6.3.1 Resolviendo ecuaciones diferenciales usando la ransformada de Fourier
6.3.2 Ejercicios propuestos
IV. Transformada Z
7 Transformada Z
7.1 Definición de transformada Z
7.2 Ejemplos de transformada Z
7.3 Transformada Z inversa
7.4 Propiedades de la transformada Z
7.5 Función de transferencia
7.5.1 Definición
7.6 Ejercicios propuestos
V. Aplicaciones
8 Transformada Wavelet
8.1 Wavelets vs Fourier
8.2 Eliminación de ruido en señales
8.3 Wavelets vs Fourier: Resolución de imágenes
8.4 Extracción de información en imágenes
8.5 Programa MATLAB
8.5.1 Aproximación a Series de Fourier
8.6 Serie de Fourier: ejemplo
8.7 Temperatura de la tierra a una profundidad X
8.8 Otras aplicaciones
8.8.1 Aplicaciones automotrices
8.8.2 Electrónica de consumo
8.8.3 Medicina
8.8.4 Instrumentación
8.9 Transformada Wavelets
VI. Apéndice
9 Apéndice
9.1 Apéndice A
9.2 Apéndice B
9.2.1 Tabla de transformadas de Fourier
9.3 Apéndice C
9.4 Apéndice D
9.5 ¿Para qué sirve Fourier en MATLAB?
9.5.1 Transformada Fourier triangular
9.5.2 Código que diferencia la frecuencia fundamental de dos señales de voz de dos personas diferentes
9.5.3 Código que permite ver la señal fundamental a través del espejo
9.5.4 Transformada de Fourier en la función polar rectangular
9.6 Transformada Wavelet continua
9.7 Programa básico para obtener la transformada Wavelet discretade una señal de N muestras empleando multiresolución
9.8 Transformada z- MATLAB
VII. Bibliografía
10 Bibliografía
10.1 Libros
10.2 Recursos WEB
s números complejos, operaciones básicas de suma y multiplicación y sus correspondientes propiedades. Se define la forma polar, exponencial y logaritmo complejo. El capítulo 4 trata las series: de potencias, Taylor y Laurent, sus propiedades, aplicaciones y problemas prácticos. El capítulo 5 se ocupa de la serie de Fourier, definición, propiedades, sumas parciales, fenómeno de Gibbs, desigualdad de Bessel, formas; trigonométrica, armónica y compleja de la serie de Fourier, aplicaciones y problemas prácticos, incorporando el uso de la herramienta MATLAB. En los capítulos 6 y 7 se realiza el manejo de las transformadas de: Fourier y Z, definiciones, propiedades fundamentales, función Delta de Dirac, transformada Z inversa, función de transferencia, desarrollo de aplicaciones, demostración de algunas propiedades y problemas prácticos. Finalmente en el capítulo 8 se presentan las aplicaciones fundamentales para el área de las telecomunicaciones, manejando las transformadas de Fourier, Z y Wavelet, en la resolución de imágenes, extracción de información de imágenes, temperatura de la tierra en una profundidad X, conducción del calor, eliminación de ruido en señales de telecomunicaciones, entre otras, incorporando el uso de la herramienta MATLAB.
